Thème 2 : Modélisation

Responsable scientifique extérieur : Marianna Bosch, Université Ramon Llull, Barcelone.

Responsableau sein du CSO : Laurent Vivier, Université de Paris.

L’intégration de la modélisation dans les curriculums de nombreux pays s’est fortement accentuée dans les vingt dernières années ouvrant la voie à des applications des mathématiques dans le monde réel et incitant à l’interdisciplinarité. Ainsi, des questions didactiques relatives au savoir à enseigner, à l’apprentissage des élèves, aux pratiques des enseignants et à leur formation, émergent-elles dans ce contexte de modélisation.

Depuis de nombreuses années, la recherche en didactique s’est intéressée à la modélisation dans l’enseignement des mathématiques, avec des perspectives et des choix différents. Certaines recherches mettent en avant des compétences de modélisation, d’autres se centrent plus sur les notions mathématiques, d’autres encore intègrent la modélisation dans l’activité mathématique.

Pour mieux comprendre les phénomènes liés à l’introduction de la modélisation dans l’enseignement des mathématiques, les effets sur l’enseignement et l’apprentissage, les difficultés des acteurs du système éducatif, le thème « modélisation » se propose d’exposer et de travailler des recherches dans différentes approches théoriques, avec leurs bases et leurs résultats.

Deux cours sont prévus :

Enseigner la modélisation mathématique et construction du travail mathématique : une dynamique problématique

Alain Kuzniak (LDAR, Université de Paris)

L’introduction de la modélisation dans l’enseignement des mathématiques a bousculé à la fois l’assise épistémologique et les perspectives didactiques sur cet enseignement et son apprentissage. Dans une première partie du cours, nous considérerons l’impact de la modélisation mathématique sur l’approche des mathématiques enseignées et sur la recherche en didactique des mathématiques. Pour cette étude, nous privilégierons les recherches menées autour du cycle de modélisation associé aux théories nord-européennes sur la modélisation dans l’enseignement et nous reprendrons la thématique de la double mathématisation introduite dans le cadre de la Realistic Mathematics Education. Nous reviendrons également sur notre expérience d’un enseignement de la modélisation dans le cadre du master de didactique de l’université Paris-Diderot à partir des années 2000. En insistant sur la place de la mathématisation et sur le rôle des modèles, nous questionnerons et discuterons la réalité du travail mathématique ainsi développé par les enseignants et les élèves.

Dans la seconde partie du cours, nous utiliserons la théorie des ETM [1] pour montrer comment nous concevons l’articulation entre activité de modélisation et formation du travail mathématique. Les recherches récentes, menées dans ce cadre, sont centrées sur la mathématisation, les jeux entre modèles alternatifs et la connexion entre ETM. Elles intègrent un double regard, cognitif et épistémologique, sur les activités de modélisation. Cette seconde partie sera illustrée, approfondie et discutée dans l’atelier associé au cours.

Références associées au cours

Sur la modélisation

Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H.-W., & Niss, M. (Eds.). (2007). Modelling and applications in mathematics education: The 14 th ICMI study. New York: Springer.

Kuzniak, A., Parzysz, B., & Vivier, L. (eds). (2008). Du monde réel au monde mathématiques, un parcours bibliographique et didactique. Cahier de DIDIREM (58).

Kuzniak, A., & Vivier, L. (eds.). (2011). La modélisation dans l’enseignement des mathématiques - Mise en perspective critique. Cahier du LDAR (3).

Lagrange, J.B. (2021). Les espaces de travail connectés : une perspective nouvelle pour la modélisation dans le secondaire ? Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education. doi:10.1007/s42330-020-00130-6

Pour une introduction à la théorie des ETM

Flores González, M., Kuzniak, A., Nechache, A. & Vivier, L. (Eds), Regards croisés sur le travail mathématique, Cahier du LDAR, n°21 (pp.85-102), Paris : IREM Université de Paris.

Hoppenot, P., Kuzniak, A., Masselin, B., Nechache, A. Reyes Avendaño, C.G., López Fernandez, S.S & Vivier, L. (à paraître) Le travail mathématique personnel vu par le prisme des Espaces de Travail Mathématique, Actes de la 20^èmeEcole d’Eté de Didactique de l’ARDM, 13-19 octobre 2019, Autrans, France.

Kuzniak. A. (2011) L’espace de Travail Mathématique et ses genèses. Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, (16), 9-24.

Kuzniak, A. Tanguay, D. and Elia, I. (2016). Mathematical Working Spaces in Schooling. ZDM Mathematics Education, 48(6), 721-738

La modélisation mathématique comme domaine de recherche : avancées dans l’analyse écologique

Berta Barquero (Université de Barcelone) 

Ce cours s’intéresse à l’évolution récente du domaine de recherche sur la modélisation mathématique et la manière dont différentes questions de recherche ont été formulées et abordées par des cadres théoriques internationaux. Nous nous focaliserons plus particulièrement sur les dimensions « épistémologique », « économique » et « écologique » de ces différentes approches théoriques de la modélisation mathématique. Nous verrons que la problématique écologique est encore en grande partie absente de nombreuses approches. Ceci permettra, dans un second temps, de montrer certains outils de la TAD comme les parcours d’étude et de recherche (PER) que nous avons proposés pour faciliter la conception, la mise en œuvre et l’analyse des pratiques de modélisation dans différents niveaux scolaires et dans la formation des enseignants.

Bibliographie commentée sur le Cours 2

Barquero, B., Bosch, M., & Gascon, J. (2013). The ecological dimension in teaching of mathematical modelling at university. Recherches en Didactique des Mathématiques, 33, 307–338. https://revue-rdm.com/2013/the-ecological-dimension-in-the/

Des recherches récentes sur l'enseignement et l'apprentissage de la modélisation mathématique mettent en évidence l'existence de fortes contraintes institutionnelles sur la diffusion généralisée et à long terme des mathématiques comme outil de modélisation dans les systèmes d'enseignement actuels. Ce travail analyse ce que nous appelons l'écologie de la modélisation mathématique, c’est à dire l’analyse des conditions et des contraintes qui entravent la vie de la mathématique comme outil de modélisation dans les systèmes d'enseignement universitaires actuels.

Barquero, B., Bosch, M., & Gascon, J. (2019). The unit of analysis in the formulation of research problems: the case of mathematical modelling at university level. Research in Mathematics Education, 21(3), 314-330. https://doi.org/10.1080/14794802.2019.1624602

En prenant l'exemple de l'enseignement de la modélisation dans les systèmes d'enseignement universitaires actuels, ce travail se concentre sur la façon dont l'unité d'analyse adoptée par différents cadres de recherche en didactique des mathématiques transforme un problème d'enseignement (sur l’enseignement et apprentissage de la modélisation mathématique) dans une problématique de recherche. Cette transformation prend en compte différentes dimensions et notamment la dimension épistémologique, qui s’élargie par ce que l'on nomme la dimension écologique.

Bosch, M. (2018). Study and Research Paths: A model for inquiry. ICM 2018 Proc. Int. Cong. Of Math.  Rio de Janeiro, Vol. 4 (pp. 4033–4054) https://eta.impa.br/dl/121.pdf

Cet article présente un axe de recherche en didactique des mathématiques développé au sein de la TAD autour des « parcours d'étude et de recherche » (PER). En particulier, les PER sont proposés comme dispositif didactique pour l’enseignement de la modélisation mathématique dans le paradigme du « questionnement du monde »).

Garcia, F.J., Gascon, J., Ruiz-higueras, L., & Bosch, M. (2006). Mathematical modelling as a tool for the connection of school mathematics. ZDM – International Journal on Mathematics Education, 38(3), 226–246.

Dans de travail, les auteurs proposent une reformulation des processus de modélisation du point de vue de la TAD, qui est utile pour identifier de nouveaux phénomènes didactiques relatifs au problème de la connexion des mathématiques scolaires. La reformulation des processus de modélisation apparaît comme un outil didactique pour aborder cette problématique de recherche.

Carreira, S., Barquero, B., Kaiser, G., & Cooper, J. (2019). Introducing CERME's Thematic Working Group 6 – Applications and Modelling. Newsletter of the European Mathematical Society, 111, 48-49.

Kaiser, G., & Sriraman B. (2006). A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. ZDM – International Journal on Mathematics Education, 38, 302–310. https://doi.org/10.1007/BF02652813

Schukajlow, S., Kaiser, G. & Stillman, G. Empirical research on teaching and learning of mathematical modelling: a survey on the current state-of-the-art. ZDM Mathematics Education 50, 5–18 (2018). https://doi.org/10.1007/s11858-018-0933-5

Les trois articles précédents présentent des avancées actuelles sur le domaine de recherche sur la modélisation mathématique au niveau européen (dans le groupe de travail thématique qui s’appelle « Applications and Modelling » du congrès CERME) et au niveau international avec la publication de deux special issues sur la modélisation mathématique (ZDM, 2006 et 2018).

Deux TD sont prévus associés respectivement aux deux cours. 

TD1 : Macarena Flores González, Blandine Masselin, Claudia G. Reyes Avendaño et Alain Kuzniak (associé au cours 1)

L’atelier comporte trois sessions et il est organisé autour de la présentation et de l’analyse de documents extraits des thèses de Claudia Reyes Avendaño et de Blandine Masselin.

La thèse de Reyes Avendaño (2019) est consacrée à l’étude de certaines fonctions numériques à partir de la modélisation de mouvements, comme le mouvement circulaire uniforme. Pour mettre au point et analyser son ingénierie didactique, Reyes Avendaño a développé la notion d’Espace de Travail Cinématique et les notions de paradigmes de la cinématique. Pour son expérimentation en classe, elle a utilisé un logiciel de saisie de données physique (Tracker) et un logiciel de traitement mathématique (GeoGebra). Après avoir montré l’usage de ces deux logiciels dans l’ingénierie didactique proposée, nous étudierons des productions d’élèves de Terminale Scientifique au Mexique. De cette façon, nous pourrons aborder l’articulation entre modélisation et Espaces de Travail Mathématique et préciser l’importance des paradigmes dans la mathématisation de situations issues de la vie réelle.

La thèse de Masselin (2019) porte sur la question de la modélisation de situations aléatoires en relation avec la simulation. La tâche proposée, le jeu du lièvre et de la tortue, permet de convoquer différents modèles et artefacts technologiques. Dans l’atelier, nous étudierons une séance de classe menée par une enseignante chevronnée qui a organisé sa classe en groupes de travail. Les données issues du corpus de la thèse permettront de questionner la circulation du travail mathématique et, en particulier, de voir comment la modélisation peut être source de blocages, rebonds et confinements (Masselin, 2020) dans l’ETM idoine. Nous étudierons aussi les choix effectués par l’enseignante pour guider la modélisation et la mathématisation de la tâche par ses élèves dans la classe. Nous analyserons également les choix d’un deuxième enseignant ayant participé à un stage dont la première enseignante était formatrice.

Cet atelier nous aidera également à dégager certains des outils méthodologiques utilisés dans les recherches sur la modélisation dans le cadre de la théorie des ETM – diagramme des ETM, chronogrammes…

Bibliographie du TD1

Masselin, B., (2019). Étude du travail de l’enseignant autour de la simulation en classe de troisième et seconde : métamorphose d’un problème au fil d’une formation en probabilité. Thèse de doctorat, Université Paris Diderot, http://www.theses.fr/240200012.

Masselin, B. (2020). Dynamique du travail mathématique en classe entre un enseignant et des groupes d’élèves sur la simulation en probabilités : une étude de cas. Annales de didactique et de Sciences Cognitives, 25, 49-88.

Masselin, B., & Flores González, M. (2020). Étude du travail idoine, le cas de la simulation en probabilité., In A. Kuzniak, M. Flores González, A. Nechache & L. Vivier (Eds), Regards croisés sur le travail mathématique, Cahier du LDAR, n°21 (pp.85-102), Paris : IREM Université de Paris.

Reyes Avendaño, C. G (2020). Enseignement et apprentissage des fonctions numériques dans un contexte de modélisation et de travail mathématique. Thèse de doctorat, Université de Paris. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03211997.

En relation avec le cours et l’atelier, des chapitres du livre Mathematical Work in an Educational Context: The Perspective of the Theory of Mathematical Working Spaces, Springer (à paraître, préversion des chapitres disponible sur demande à A. Kuzniak).

Kuzniak, A., Nechache, A. & Richard, P.R. The theory of MWS in Brief

Nechache, A. & Gómez Chacón, I. Methodological Aspects in the Theory of Mathematical Working Spaces

Montoya-Delgadillo E. & Reyes Avendaño, C.G. The Reference MWS

Masselin, B., Henriquez-Rivas C. & Kuzniak, A. The idoine or suitable MWS as an essential transition stage between personal and reference mathematical work

Lagrange J-b., Huincahue, J. & Psycharis, G. Modelling in Education. New Perspectives Opened by the Theory of MWS.