Thème 1 : Preuve

Responsable scientifique extérieur : Viviane Durand-Guerrier, Université de Montpellier.

Responsable au sein du CSO : Cécile Ouvrier-Buffet, Université Paris-Est Créteil.

Le thème de la « preuve » n’a pas été traité à l’EE depuis celle d’Houlgate en 1999.

La recherche en didactique a produit de nombreux travaux sur la preuve au niveau national et international et ce depuis plusieurs années. Ces travaux concernent tous les niveaux de la scolarité et portent généralement sur des situations didactiques spécifiques et sur la formation des enseignants.

Dans ce vaste champ, divers apports théoriques existent, avec des évolutions ces dernières années qui peuvent encore faire évoluer le rapport épistémologique des chercheurs en didactique des mathématiques à la preuve. A titre d’exemples : les interactions des mathématiques avec des domaines tels que la logique et l’informatique, dont l’étude fine est nécessaire avec les évolutions curriculaires ; les interactions avec les sciences du langage ; ou encore les perspectives apportées par des travaux basés sur des entretiens avec des mathématiciens.

Une partie significative des travaux sur la preuve est rédigée en anglais, ce qui pose la question du vocabulaire utilisé autour du mot « preuve » lorsque l’on passe d’une langue à l’autre. Les distinctions existent en didactique des mathématiques entre des termes tels que : justification, argumentation, validation, explication, preuve, démonstration. Derrière ces mots, les problématiques des chercheurs en didactique sont de faire les liens entre explications, preuves et compréhension dans une perspective d’enseignement /apprentissage et d’étudier les continuités possibles entre argumentation et preuve.

Diverses questions pourront être abordées dans cette école d’été tant aux niveaux épistémologique et didactique, qu’au niveau curriculaire. Des liens fructueux pourront également être faits avec les autres thèmes de l’école d’été.

Deux cours sont prévus :

Situations pour l’apprentissage de la preuve en mathématiques : état de la recherche et questions ouvertes

Nicolas Balacheff - DR CNRS émérite - Laboratoire d'Informatique de Grenoble (UGA, CNRS, INRIA)

Les recherches sur la complexité épistémique, logique et discursive de l’apprentissage de la preuve ont
suscité une abondante littérature au cours des deux dernières décades. Leurs résultats permettent une
analyse plus fine des difficultés rencontrées par les élèves et de celles du travail des professeurs pour
l’enseignement de la preuve en mathématiques. Ils confortent la conception de situations spécifiques,
notamment les situations de validation au sens de la théorie des situations didactiques (TSD), dans
lesquelles la preuve fonctionne comme outil de résolution de problèmes et créent les conditions de
recevabilité d’une connaissance nouvelle. Cependant, subsiste la difficulté de saisir la preuve comme
objet, pour en reconnaitre les spécificités mathématiques et l’institutionnaliser en tant que telle. C’est
sur ce problème que portera l’exposé. Il complète les exposés du séminaire national DDM (2019a) et du
CORFEM (2019b).

LECTURES
Balacheff, N. (2019a). Contrôle, preuve et démonstration. Trois régimes de la validation. In J. Pilet & C.
Vendeira (Eds.), Actes du séminaire national de didactique des mathématiques 2018 (pp. 423–456). ARDM et
IREM de Paris ‐ Université de Paris Diderot. https://hal.archives‐ouvertes.fr/hal‐02333720

Balacheff, N. (2019b). L’argumentation mathématique, précurseur problématique de la démonstration.
XXVIe Colloque CORFEM, Strasbourg, France. 29 pages. https://hal.archives‐ouvertes.fr/hal‐
02981131/document

La première partie de l’exposé sera consacrée à un état de la recherche internationale en reprenant de
comptes‐rendus de travaux relevant de différentes problématiques qui se distinguent par la façon dont
le problème de l’enseignement de la preuve est posé et étudié.

LECTURES
Margolinas, C. (1992). Éléments pour l’analyse du rôle du maître : Les phases de conclusion. Recherches en
didactique des mathématiques, 12(1), 113–158. https://halshs.archives‐ouvertes.fr/halshs‐00458309
Analyse, du point de vue de la validation, du rôle du professeur dans la TSD. Cet article, qui définit
et précise les « phases de conclusion », apporte des éléments pour la lecture des deux articles
suivants qui seront utilisés comme exemples assez représentatifs de travaux sur les premiers
apprentissages de la preuve.

Maher, C. A., & Martino, A. M. (1996). The Development of the Idea of Mathematical Proof: A 5‐Year Case
Study. Journal for Research in Mathematics Education, 27(2), 194. https://doi.org/10.2307/749600
Étude de cas longitudinale qui analyse le développement par une élève, Stéphanie, de l’idée de
justification mathématique dans le cours d’une interaction avec les autres élèves et la professeure.
L’attention se portera sur la méthode et le cadre théorique sous‐jacent.

Stylianides, A. J. (2007). The Notion of Proof in the Context of Elementary School Mathematics. Educational
Studies in Mathematics, 65(1), 1–20. https://doi.org/10.1007/s10649‐006‐9038‐0
Reprise d’une étude de cas, une leçon en classe de (équivalent) CE2. L’auteur souligne le
problème de la conclusion d’une situation dédiée à la preuve dans la classe de mathématique.

REFERENCES UTILES 
Stylianides, A. J., & Harel, G. (Eds.). (2018 – part 2). Advances in Mathematics Education Research on Proof
and Proving. Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978‐3‐319‐70996‐3
Ensemble de comptes‐rendus de recherches et d’analyses théoriques rassemblés par l’ICME13 TSG18 « Reasoning and proof in mathematics education » (accessible sur le net via les institutions).

Czocher, J. A., & Weber, K. (2020). Proof as a Cluster Category. Journal for Research in Mathematics
Education, 51(1), 50–74. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.2019.0007
Analyse de la difficulté de définir la preuve dans le contexte de son enseignement et proposition
d’une solution.

AUTRES REFERENCES
(Boero, 2007) ; (Herbst & Balacheff, 2009; Herbst & Miyakawa, 2008) ; (Reid & Knipping, 2010) ; (Hanna &
Villiers, 2012) ; (Stylianides, 2016)

La seconde partie de l’exposé proposera, dans le cadre de la TSD, une analyse de l’état actuel de la
recherche. La TSD est le cadre théorique de la modélisation des situations d’apprentissage dont
l’objectif est de susciter et accompagner la genèse expérimentale de connaissances mathématiques
déterminées, cependant que, plus généralement, ces situations « peuvent aider le professeur à faire
vivre dans sa classe une véritable petite société mathématique. » (Brousseau, 1998, p. 112 ‐ mes
italiques). Les situations de validation jouent un rôle clé. Elles sont un moyen efficace pour la
transformation de construits individuels en un objet de connaissance partagé qui pourra être reconnu
collectivement et institutionalisé par l’enseignant.e. La validité de cette connaissance est ainsi attestée,
mais le plus souvent en laissant implicite les fondements de cette décision. L’accord est tacite. La preuve
est un outil, elle n’est pas en elle‐même l’enjeu de la situation—son objet. Cette possibilité limite la
portée de ces situations pour l’apprentissage de la preuve. Pour lever cette hypothèque, il faut accéder
au « schéma de validation explicite », le mettre en question, en reconnaitre les caractéristiques et les
instituer ; alors la petite société de la classe peut prétendre être véritablement mathématique. Guy
Brousseau utilise l’expression « situation de preuve » pour les situations de validation ayant ces
caractéristiques, mais il ne développe pas la modélisation dans cette direction et n’y revient pas. Je
reprendrai l’expression « situation de décision » qui désigne les situations de validation n’exigeant pas
l’explicitation d’un schéma de validation explicite, elle facilitera l’identification des types de situations
de validation et les caractéristiques qui les distinguent.

La conclusion de l’exposé portera sur les questions ouvertes pour l’ingénierie de situations nécessaires à
la genèse et la reconnaissance des normes de la preuve dans la classe de mathématique avant
l’enseignement explicite de la démonstration.

LECTURES
Brousseau, G. (1986 – p.107 et suivantes). Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques.
Recherches en didactique des mathématiques, 7(2), 33–115. https://revue‐rdm.com/1986/fondements‐etmethodes‐
de‐la/

Balacheff, N. (1987 – MS p.7). Processus de preuve et situations de validation. Educational Studies in
Mathematics, 18(2), 147–176. MS ‐ https://hal.archives‐ouvertes.fr/hal‐01619264/document

Douady, R. (1986 – p.9 et suivantes). Jeux de cadres et dialectique outil‐objet. Recherches en didactique des
mathématiques, 7(2), 5–31. https://revue‐rdm.com/1986/jeux‐de‐cadres‐et‐dialectique/

Herbst, P., & Balacheff, N. (2009). Proving and Knowing in Public: The Nature of Proof in a Classroom. In D.
A. Stylianou, M. L. Blanton, & E. J. Knuth (Eds.), Teaching and learning proof across the grades: A K‐16
perspective (pp. 40–63). Routledge. https://hal.archives‐ouvertes.fr/hal‐00998146/document

REFERENCES UTILES 
Balacheff, N. (1988b). Le contrat et la coutume, deux registres des interactions didactiques. In C. Laborde
(Ed.), Premier Colloque Franco‐Allemand de Didactique des Mathématiques (pp. 15–26). La Pensée Sauvage.

Margolinas, C. (1993). De l’importance du vrai et du faux dans la classe de mathématiques. La Pensée
Sauvage.

AUTRES REFERENCES : (Balacheff, 1988) ; (Brousseau, 1998) ;

AUTRES REFERENCES
Balacheff, N. (1988). Une étude des processus de preuve en mathématique chez des élèves de collège [Doctorat ès‐sciences]. Université Joseph Fourier ‐ Grenoble 1.

Balacheff, N. (1988b). Le contrat et la coutume, deux registres des interactions didactiques. In C. Laborde (Ed.), Premier Colloque Franco‐Allemand de Didactique des Mathématiques (pp. 15–26). La Pensée Sauvage.
Boero, P. (Ed.). (2007). Theorems in school: From history, epistemology and cognition to classroom practice. Sense Publishers.

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques (Didactique des mathématiques 1970‐1990). La Pensée Sauvage. 

Hanna, G., & Villiers, M. de (Eds.). (2012). Proof and Proving in Mathematics Education: The 19th ICMI Study. Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/978‐94‐007‐2129‐6

Herbst, P., & Miyakawa, T. (2008). When, how, and why prove theorems? A methodology for studying the perspective of geometry teachers. ZDM, 40(3), 469–486. https://doi.org/10.1007/s11858‐008‐0082‐3

Reid, D. A., & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education: Research, learning and teaching. Sense Publishers.

Stylianides, A. J. (2016). Proving in the Elementary Mathematical Classroom. Oxford University Press.

Initiation à la preuve: la médiation des environnements informatiques (Proving and proof: the mediation of computer based environments)

Maria Alessandra Mariotti - Université de Sienne

Ma contribution discutera du potentiel didactique offert par l’utilisation des TIC en ce qui concerne l’introduction à la pratique de la preuve et en particulier à la signification de démonstration. Dans le cadre de la Théorie de la Médiation Sémiotique (TMS), je décrirai et expliquerai le rôle de contextes informatiques spécifiques dans la promotion du développement du sens de la preuve en mathématiques.

Après une brève présentation du cadre théorique de la médiation sémiotique (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008 ; Mariotti, 2013), et notamment de la notion de potentiel sémiotique, la discussion sur l’utilisation des outils de calcul va se focaliser sur les Environnement de Géométrie Dynamique (EGD) et s’articulera selon trois dimensions : analyse épistémologique, analyse cognitive et analyse didactique.

Du côté de l'analyse épistémologique, j'aborderai les notions mathématiques que l’on va traiter. Plus précisément, je discuterai de certains aspects clés du développement du sens de la preuve en mathématiques pour les étudiants, tels que la notion de Théorème en tant que système d’un énoncé, d’une preuve et d’une théorie, dans lequel une telle preuve prend du sens et devient une démonstration. En particulier, je considérerai la notion d'énoncé conditionnel comme relation logique entre des prémisses et une conclusion.

Quant à l’analyse cognitive,je discuterai l’utilisation d’un artefact, en suivant la définition de Rabardel (1995), même si je n’exploiterai pas toutes ses potentialités. La discussion sera développée selon deux objectifs, qui s'imbriquent : le but de décrire des schémas d’utilisation, contribuant à l’émergence des significations pertinentes à la signification mathématique de démonstration ; mais aussi, le but de décrire comment l'accomplissement particulier des taches sémiotiques crée, dans la classe, un environnement sémiotique dans lequel le discours interpersonnel peut évoluer en convergeant vers les significations visées.

En ce qui concerne l’analyse didactique, des exemples seront présentés, illustrant différents aspects du processus de médiation sémiotique, tel qu’il peut se dérouler dans la résolution de tâches organisées selon le modèle d'itération des cycles didactiques.

Les exemples seront tirés d’expériences didactiques qui étudient l’utilisation des EGD pour initier les élèves du secondaire à la preuve et à la démonstration. Certaines de ces expériences ont été conduites sur le long terme et comportaient différentes classes pendant toute une année scolaire, tandis que d’autres étaient plus circonscrites, impliquant des individus ou des paires d’étudiants. Les entretiens visaient à observer les comportements des élèves de manière très détaillée. En développant cette vaste base de résultats, mon objectif est d’illustrer les potentiels d’un type spécifique d’environnement pour favoriser le développement d'un sens de la preuve et, plus largement, une perspective théorique. Certains des résultats présentés ici ont déjà été publiés : par exemple, dans Mariotti (2012, 2014) et Baccaglini-Frank et al. (2018), mon objectif est d’apporter une synthèse des contributions présentées au cours de ces dernières années en fonction de la lentille unificatrice de la théorie de la médiation sémiotique (TSM) et, plus précisément, de la notion de potentiel sémiotique d’un artefact.

REFERENCES

Pour le cadre théorique

Bartolini Bussi, M. G., and Mariotti, M. A. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom: artifacts and signs after a Vygotskian perspective. In L. English, M. Bartolini Bussi, G. Jones, R. Lesh, and D. Tirosh (Eds.), Handbook of International Research in Mathematics Education, second revised edition (pp. 746-805). Lawrence Erlbaum, Mahwah, NJ.

Mariotti, M.A. (2012). Proving and proof as an educational task, Proceedings of the 7th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Rzeszow, Poland, pp: 61-92.

Mariotti, M.A. (2013). Artefacts et signes dans la theorie de la mediation semiotique. In A. Bronner, M. Larguier (Eds), Actes de la 16^ième Ecole d’Eté de Didactique des Mathématiques, Carcassonne [CDRom]. Grenoble : La Pensée Sauvage Editions.

Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies - Approche cognitive des instruments contemporains. Paris: Armand Colin.

Pour trouver les exemples

Baccaglini-Frank, A. & Mariotti, M.A. (2011). Conjecture-generation through Dragging and Abduction in Dynamic Geometry. In A. Méndez-Vilas (Ed.), Education in a technological world: communicating current and emerging research and technological efforts. (pp.100-107). Formatex, Spain.

Baccaglini-Frank, A., Antonini, S., Leung, A. & Mariotti, M.A. (2016). Designing Non-constructabilitytasks in a Dynamic Geometry Environment. In A. Leung & A. Baccaglini-Frank (Eds.), Digital Technologies in Designing Mathematics Education Tasks, Mathematics Education in the Digital Era 8, (pp. 99-120). DOI 10.1007/978-3-319-43423-0_6.

Textes de synthèse

Mariotti, M. A. (2014). Transforming images in a DGS: The semiotic potential of the dragging tool for introducing the notion of conditional statement. In Transformation-A Fundamental Idea of Mathematics Education (pp. 155-172). Springer, New York, NY. ISBN 978-1-4614-3489-4.

Mariotti M.A. (2019).The contribution of information and communication technology to the teaching of proof.  In Hanna G., Reid D.A., de Villier M. (Eds), Proof Technology in Mathematics Research and Teaching. Mathematics Education in the Digital Era, Springer. DOI: 10.1007/978-3-030-28483-1.

Trois TD sont prévus animés respectivement par

1) Christophe Hache, Marie-Line Gardes, Zoé Mesnil

Des outils pour analyser les apprentissages des élèves sur la preuve, comme processus et comme produit

La preuve présente de nombreux aspects qui font de sa pratique, de son enseignement et de son apprentissage des activités riches mais complexes. Dans la série de TD que nous proposons, nous nous attacherons particulièrement à l’articulation processus/produit (Gandit, 2011, Hanna & De Villiers, 2012), et à l’articulation syntaxe/sémantique (Deloustal-Jorrand, Gandit, Mesnil, Da Ronch, 2020) des preuves. Nous aurons donc en toile de fond pour toute la série de TD la question suivante : comment la manipulation des objets ou des énoncés mathématiques participe-t-elle à l’élaboration d’une preuve, de la recherche à sa rédaction ?

Dans une première séance, nous proposerons aux participant·e·s de se plonger dans des conjectures d’arithmétique. Nous explorerons plus particulièrement dans cette premiere séance l’articulation syntaxe/sémantique, dans le temps de la recherche d’une preuve comme dans celui de sa rédaction. Nous nous appuierons sur les travaux de Weber et Alcock qui distinguent une dimension sémantique (appui sur l’instanciation d’objets mathématiques pour suggérer et guider les inférences) et une dimension syntaxique (manipulation des définitions et des énoncés d’une manière logiquement valide) dans l’élaboration d’une preuve (Weber et Alcock, 2004). Dans une deuxième séance, à partir d’une situation où la manipulation de matériel permet d’entrer dans la recherche de questions mathématiques, nous verrons plus globalement le ressort de la dimension expérimentale dans l’élaboration d’une preuve. Pour cela, nous utiliserons des outils d’analyses développés dans nos travaux, notamment les gestes de recherche (Gardes et Durand-Guerrier, 2016). Dans la troisième séance, nous reviendrons notamment sur les premières productions, pour regarder plus spécifiquement le langage utilisé dans la phase d’élaboration du texte écrit de la preuve, en cherchant les liens éventuels avec les pratiques langagières usuelles de la communauté (Hache et Mesnil, 2020).

Références associées au TD (non nécessairement à lire avant de le suivre)

Deloustal-Jorrand, V., Gandit, M., Mesnil, Z. et Da Ronch, M. (2020).  Utilisation de l’articulation entre les points de vue syntaxique et sémantique dans l’analyse d’un cours sur le raisonnement. In T. Hausberger, M. Bosch & F. Chelloughi (Eds.), Proceedings of the Third Conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (INDRUM 2020, 12-19 September 2020) (pp. 378-387). Bizerte, Tunisia: University of Carthage and INDRUM. https://hal.archives-ouvertes.fr/INDRUM2020

Gandit, M. (2011). Etude épistémologique et didactique de la preuve en mathématiques et de son enseignement. Une ingénierie de formation. In M. Abboud-Blanchard & A. Flückiger (Eds.) Actes du séminaire national de didactique des mathématiques, 2010 (pp. 175-197). Paris : Université Paris Diderot & IREM de Paris 7. http://docs.irem.univ-paris-diderot.fr/up/publications/AAR11001.pdf

Hanna, G. & De Villiers, M. (Eds.) (2012). Proof and proving in mathematics education. NY: Springer.

Gardes, M.-L. & Durand-Guerrier, V. (2016). Designation at the core of the dialectic between experimentation and proving: a study in number theory. First conference of International Network for Didactic Research in University Mathematics, Mars 2016, Montpellier, France. Sur HAL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01337922v1

Hache, C. et Mesnil, Z. (2020) Outils logiques pour analyser les formulations des preuves dans des manuels de lycée. In J. Pilet & C. Vendeira (Eds.), Actes du séminaire de didactique des mathématiques 2019 (p. 120- 136). IREM de Paris – Université de Paris. Sur HAL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03041140/document

Weber, K. et Alcock, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. Educational Studies en Mathematics, 56, 209-234.

2) Isabelle Bloch, Mathias Front, Patrick Gibel

Analyse didactique des raisonnements en classe de mathématiques par l’usage d’un modèle spécifique : Exemples d’études de situations à différents niveaux de scolarité

En trois séances de deux heures, cet atelier propose aux participants de découvrir, de s’approprier et de mettre en œuvre un modèle d’analyse des raisonnements basé sur la prise en compte de plusieurs dimensions : les conditions de l’élaboration d’un raisonnement en situation, les modalités et fonctions des raisonnements (justifier, expliquer, argumenter, prouver, démontrer, etc.) et leurs dimensions syntaxique et sémantique.

La modalité choisie est un travail d’études, en ateliers, de différentes situations d’argumentation et de preuve relevant des niveaux de scolarité (primaire, secondaire et supérieur) pour lesquels nous mettrons à l’épreuve l’adéquation du modèle à une analyse détaillée des différentes formes de raisonnements. Les situations à l’étude seront choisies dans différents domaines des mathématiques : arithmétique, analyse, géométrie.

La méthodologie nous amènera à prendre en compte la dimension sémiotique du raisonnement dans ses différentes formes : orale, écrite et formelle. Une attention particulière sera portée aux différentes formes du langage permettant d’exprimer les mathématiques.

Références associées au TD 

BLOCH, I. (2005) Didactique des mathématiques et théories sémiotiques :Vers une analyse des processus de production et d'interprétation des signes mathématiques dans les situations d'apprentissage, SFIDA 24 (Séminaire Franco-Italien de Didactique de l'Algèbre) : Université de Turin.Lien

Bloch, I., Gibel, P. (2019). A model to analyze the complexity of calculus knowledge at the beginning of University course – presentation and examples, Annales de didactique et de sciences cognitives. 24, 183-205.

Bloch I., Gibel P. (2011). Un modèle d'analyse des raisonnements dans les situations didactiques : étude des niveaux de preuves dans une situation d’enseignement de la notion de limite. Recherche en Didactique desMathématiques, 31(2), 191-228.

Front, M., Legrand, P. (2010). Pavages semi-réguliers du plan. Bulletin vert de l’APMEP, 486, 60-66.

Front, M. (2015). Émergence et évolution des objets mathématiques en Situation Didactique de Recherche de Problème : le cas des pavages archimédiens du plan. Thèse de doctorat en didactique des mathématiques. Université de Lyon.

Gibel, P. (2020). Analyse en théorie des situations didactiques d’une ingénierie visant une première approche de la notion de limite finie d’une suite. Revue Québécoise De Didactique Des Mathématiques, 1, 153-189

Gibel P. (2015). Mise en œuvre d’un modèle d’analyse des raisonnements en classe de mathématiques à l’école primaire. Éducation et Didactique, 9(2), 51-72.

3) Antoine Meyer, Simon Modeste et Joris Mithalal-Le Doze

La preuve comme outil et comme objet au secondaire : dimensions sémantiques et syntaxiques, contrôle de preuve

Cet atelier s'intéresse à la preuve en tant qu'outil et objet dans l'enseignement. La dimension outil interroge l'élaboration de la preuve, dans ses aspects sémantiques et syntaxiques. La dimension objet quant à elle invite à examiner les modalités de contrôle d'une preuve, en appui sur la nature des raisonnements et sur leurs modalités de représentation. La construction progressive de normes, relatives à la validité des raisonnements et aux formes communément admises pour leur expression, articule quant à elle les dimensions outil et objet. Ainsi, notre attention portera en particulier sur les rapports entre dimensions formelle, textuelle, syntaxique et sémantique, la question des contrôles portés sur la preuve, et le potentiel de divers outils pour l'élaboration, l'étude et la validation de preuves. 

Nous aborderons ces questions à partir d'exemples tirés de trois domaines d'enseignement : la géométrie et le calcul littéral au secondaire, et l'« initiation à la preuve » à la transition secondaire-supérieur. Nous chercherons à déterminer si (et le cas échéant dans quelle mesure), ces trois contextes se répondent et participent d'une continuité dans l'apprentissage de la preuve jusqu'à un niveau universitaire.